Si cero multiplicado por cualquier número es cero, ¿por qué cero factorial es igual a uno?
A ver... No nos pongamos nerviosos que algún día diré algo gordo y me echarán de este sitio tan bonito.
No las he contado, pero estoy casi seguro que esta pregunta se ha respondido en Quora medio millón de veces, por lo menos.
¡Jajaja! Obviamente, no. Medio millón, no. Pero unas cuatrocientas noventa y nueve mil, cuatrocientas noventa y nueve, igual sí.
Va, ahora en serio...
¿No
sería más razonable que en lugar de preguntar ochenta (o medio millón)
de veces lo mismo, alguien filtrase las preguntas nuevas, ya que los que
las hacen ni siquiera se molestan en buscar si esa pregunta ya ha sido
hecha con anterioridad? Resulta algo cansino estar siempre respondiendo
lo mismo o leyendo preguntas y respuestas siempre iguales.
Soltada
la queja de hoy (por decir algo, que me parece que hoy ya me he quejado
varias veces, cascarrabias que es uno), y como también me da mucha
pereza ir a buscar todas las excelentes respuestas que ya he leído sobre
este mismo tema, voy a dar una respuesta propia, que no será mejor que
las demás pero que así me entretengo un rato yo también...
Centrémonos en el tema...
¿Por
qué el factorial de cero es uno? Aquí el problema está en la definición
de factorial. Si definimos el factorial de un número entero positivo
, es decir:
,
es
evidente que si pretendemos calcular el factorial de cero algo falla.
Según esta definición, el factorial de cero, como el de cualquier otro
número que no sea un entero positivo no se puede calcular ya que no está
definido.
Entonces, ¿por qué hay lugares donde se afirma que
?
La
explicación es la siguiente (la idea la he tomado de Wikipedia en
español porque me ha parecido muy sencilla de entender, aunque la he
explicado a mi manera, así que las críticas, por favor, diríjanlas hacia
mí, el auténtico culpable de que no esté explicado perfecto):
Supongamos
que disponemos de una máquina que multiplica números enteros del cero
al nueve. Dicha máquina tiene además una tecla que borra la operación
anterior y otra que permite introducir el siguiente número. Por
conveniencia, supongamos que a esas teclas las denominamos BORRAR e
INTRO.
Para
iniciar una multiplicación bastará con introducir los números que
queremos multiplicar y, después de cada número, pulsar la tecla INTRO.
La máquina mostrará en su pantalla el resultado de la multiplicación que
se haya ido acumulando hasta ese momento.
Por
ejemplo, supongamos que deseamos multiplicar los números de 5 al 9. Las
pulsaciones que debemos hacer y el contenido de la pantalla se muestran
en la siguiente tabla:
Ahora bien, ¿qué debe mostrar la pantalla después de pulsar la tecla BORRAR? Es evidente que si ponemos un
,
al introducir el primer número de la nueva multiplicación, la máquina
multiplicará dicho número por el que hay en ese momento almacenado (que
es
) y el resultado será incorrecto ya que se anulará siempre.
La única forma de resolver esta situación es que, al pulsar BORRAR, la máquina muestre en pantalla un
, el elemento neutro de la multiplicación. De esa forma, al introducir el siguiente número, lo multiplicará por
y la máquina funcionará correctamente.
La
consecuencia intuitiva que podemos extraer de esto es que el producto
de cero factores, es decir, cuando aún no hemos multiplicado nada, ha de
ser
para que las cosas funcionen.
Fijémonos
que si en lugar de estar multiplicando, estuviéramos sumando, nadie se
preguntaría por qué la suma de ningún número debe ser el neutro de la
suma, es decir, cero. Si yo quiero sumar una cierta cantidad de números,
cuando todavía no he añadido ninguno, es evidente que el valor de la
suma en ese momento ha de ser cero, ¿no? Es tan evidente que parece una
perogrullada decir que si no hemos sumado nada, el resultado de esa suma
de ningún número ha de ser cero.
Pues
ahora pasemos al caso de la multiplicación... ¿Cuánto debe valer una
multiplicación que todavía no ha multiplicado ningún número? ¿Cero?
Imposible, porque cuando empecemos a multiplicar, nos saldran resultados
incorrectos, se anulará todo. La única respuesta lógica es que cuando
todavía no hemos multiplicado nada, dicha multiplicación valga uno, que
por algo es el elemento neutro de la multiplicación...
Así pues, por coherencia con el concepto de factorial, no hay más remedio que adoptar
si queremos que las cosas funcionen. A esta conclusión se puede llegar
por diversos caminos y todos coinciden finalmente que el factorial de
cero debe ser uno para que las cosas tengan sentido y sean coherentes.
Voy a dar dos razones más para explicar porque es conveniente que
.
Hemos visto como se definía el factorial de un número entero positivo
. Es evidente que podemos establecer la siguiente igualdad:
,
por
lo tanto, podríamos calcular el factorial de un entero positivo a
partir del factorial del entero positivo siguiente poniendo la igualdad
de la siguiente forma:
.
Veamos unos ejemplos:
...
Si
forzamos la definición de factorial para admitir el factorial de cero,
según esta idea, ¿cuál debería ser el factorial de cero? Obviamente:
,
ya que si no, no sería coherente con lo que sucede con el resto de números, ¿no?
Otro
ejemplo, ya de un nivel más alto. Consideremos la función gamma de
Euler, introducida por este matemático en 1729, aunque no le daría
ningún nombre concreto, y que, posteriormente, sería bautizada como
función gamma (de Euler), y simbolizada como la conocemos ahora
por Legendre en 1814.
Euler definió esta función como el límite:
,
pero
en la actualidad se usa una definición en forma integral, bastante más
manejable (Euler era un genio resolviendo límites —bueno, límites y casi
cualquier cosa; se estima que el 25 % de toda la producción matemática
del s. XVIII se la debemos a él solito, y eso que se quedó tuerto del
ojo derecho a los 28 años y perdió la visión del otro ojo ya en los
últimos años de su vida, aunque siguió trabajando al mismo ritmo que
había llevado siempre—), que es la siguiente:
.
Esta peculiar función tiene una serie de propiedades muy interesantes. Entre ellas, se puede demostrar que si
es un número entero positivo, entonces la función gamma coincide con el factorial de dicho número menos uno. Dado que es contínua para cualquier número real ,
se suele interpretar como que la función gamma de Euler es la
generalización del concepto de factorial a cualquier número real. Es
más, la fórmula anterior la hemos escrito usando
precisamente porque también es válida para números complejos.
Resumiendo,
, si
es un número entero positivo, y si no lo es, podemos interpretar el
valor de la función como la generalización a cualquier número complejo
del concepto de factorial.
En particular, no es demasiado difícil calcular que
, lo cual ya nos hace ver que sería conveniente definir
para que las cosas encajen más o menos bien.
Sería
tarea de alguien más eficiente que yo enumerar todos los motivos que
nos llevan a elegir el factorial de cero como uno, aunque a algunos les
choque. Supongo que están demasiado acostumbrados a pensar en términos
de sumas (en las que el elemento neutro es
) y no se dan cuenta que en términos de multiplicaciones lo correcto es recordar que el elemento neutro es el uno.